反(fǎn)正弦函数的导(dǎo)数，反正切(qiè)函(hán)数的导数推导过(guò)程是正切函数的求导(acrtanx)'=1/(1+x2)，而arccotx=π/2-acrtanx，所(suǒ)以(arccotx)'=(π/2-acrtanx)'=-(acrtanx)'=-1/(1+x2)的。

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反正(zhèng)弦函数的导数，反正切函数的导数推导过程

　　正(zhèng)切函(hán)数y=tanx在开(kāi)区(qū)间（x∈(-π/2,π/2)）的反函(hán)数，记作(zuò)y=arctanx或y=tan-1x，叫做(zuò)反正切函数。

　　它表示(-π/2,π/2)上正切值等于x的那个(gè)唯一确(què)定(dìng)的(de)角，即tan(arctanx)=x，反正切函(hán)数的定(dìng)义(yì)域为R即(-∞，+∞)。

　　反(fǎn)正(zhèng)切函数(shù)是反三角函数的(de)一(yī)种。

　　由(yóu)于正切函数y=tanx在定义域(yù)R上不(bù)具有一(yī)一(yī)对应的关系，所以(yǐ)不存在反函数。

　　注意(yì)这里选(xuǎn)取是正切函数(shù)的一(yī)个单调区(qū)间。

　　而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是(shì)单调连续的，因此，反正切函数是(shì)存在且唯一确(què)定的。

　　引进多值(zhí)函数概(gài)念后，就可以在正切(qiè)函数(shù)的整个定义域(yù)(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上(shàng)来(lái)考虑它的反函数(shù)，这时的反正切(qiè)函数是多(duō)值的，记(jì)为y=Arctanx，定义域是(shì)(-∞，+∞)，值域(yù)是y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。

　　于是，把(bǎ)y=arctanx(x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2,π/2))称为(wèi)反正(zhèng)切函数的(de)主值(zhí)，而(ér)把(bǎ)y=Arctanx=kπ+arctanx(x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)称为反正(zhèng)切函数(shù)的通值(zhí)。

　　反(fǎn)正切函数在(-∞，+∞)上(shàng)的图(tú)像可(kě)由区间(-π/2,π/2)上的正切(qiè)曲线(xiàn)作关于直线y=x的(de)对称变换而得到，如图所示。

　　反正切函数的(de)大致(zhì)图像如图(tú)所示，显然与函数y=tanx,（x∈R）关于直线y=x对称(chēng)，且渐近线为y=π/2和y=-π/2。

求反正切(qiè)函数(shù)求导公(gōng)式的推导(dǎo)过(guò)程、

　　因为函数的导(dǎo)数(shù)等于反函数导数的倒数。

　　arctanx 的反函数是tany=x,所以(yǐ)tany=(siny/cosy)纳敬=[(siny)cosy-siny(cosy)]/(cosy)^2=(cos^2y+sin^2y)/cos^2y=1/cos^2y .............tany=siny/cosy=根号(hào)下(xià)(1-cos^2y)/cosy,,,,,,,,,,两边平方得tan^2y=(1-cos^2y)/cos^2y......因为上面(miàn)tany=x.........所以cos^2=1/(x^2+1)........所以由上(shàng)面(miàn)塌(tā)悄(qiāo)(tany)=1/cos^2y的得(tany)=x^2+1然后再用团茄(jiā)渣倒数得(arctany)=1/(1+x^2))

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