函数(shù)存(cún)在(zài)反函数(shù)的充要条件(jiàn)是(shì)，函(hán)数的定义域(yù)与值域(yù)是一(yī)一映射的(de)。

　　1、反函(hán)数的定义域是原(yuán)函数的值域，反函数(shù)的(de)值域是原函(hán)数的定义域。

　　2、互为反(fǎn)函数的两个(gè)函数的图(tú)像关于直线y=x对(duì)称。

　　3、原函数(shù)若是(shì)奇函数(shù)，则(zé)其反函数(shù)为奇函数(shù)。

　　4、若(ruò)函数是单(dān)调函数，则一定有反函数，且(qiě)反函数的单调性与原函数的一致。

　　5、原函数与反(fǎn)函(hán)数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称(chēng)出(chū)现。

反函(hán)数有(yǒu)哪些性质

　　性质(zhì)：

　　（1）函数f(x)与它(tā)的反函数f-1(x)图(tú)象(xiàng)关于直线(xiàn)y=x对称；

　　（2）函数存在反函(hán)数的充要条(tiáo)件(jiàn)是，函数的定义域与值域是一(yī)一映射(shè)；

　　（3）一(yī)个函数与(yǔ)它(tā)的反函数在(zài)相应区间(jiān)上单调性一(yī)致；

　　（4）大部分偶函数(shù)不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中(zhōng)C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函(hán)数，其(qí)反函(hán)数的定义域(yù)是{C}，值域为{0} ）。

　　奇(qí)函(hán)数不一定存在反(fǎn)函(hán)数(shù)，被与y轴垂直的直线截(jié)时(shí)能过2个及(jí)以(yǐ)上点即没有反函数。

　　腔神(shén)若一个奇函数存在反函数，则(zé)它的反函数(shù)也是奇森圆穗函数。

　　（5）一段连续的(de)函数的单调性在(zài)对应区间(jiān)内具有一致性；

　　（6）严增（减(jiǎn)）的函数一定有严格增（减）的反函数；

　　（7）反函数是(shì)相互的且具有唯(wéi)一性；

　　（8）定义域、值域相反对应法则互(hù)逆（三反）；

　　（9）反(fǎn)函(hán)数的导数关系：如果x=f(y)在开(kāi)区间(jiān)I上严格单调，可导，且f(y)≠0，那么它的(de)反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

　　（10）y=x的反函数是它本身(shēn)。

　　扩此卜展资料(liào)：

　　反函数(shù)定义：

　　设函数y=f(x)的(de)定义域是D，值域是f(D)。

　　如果对于(yú)值域f(D)中的每一个y，在(zài)D中(zhōng)有且只有一(yī)个x使得f(x)=y，则按此对(duì)应(yīng)法则得到了一个定义在f(D)上的函(hán)数。

　　并(bìng)把该函数称(chēng)为函数(shù)y=f(x)的(de)反(fǎn)函数(shù)，记为由(yóu)该(gāi)定义可以很快得出函数f的定义域D和值(zhí)域f(D)恰好就(jiù)是(shì)反函数f-1的值域和定义域，并(bìng)且f-1的反函(hán)数就(jiù)是f，也(yě)就是说，函(hán)数(shù)f和(hé)f-1互为(wèi)反(fǎn)函数，即：

　　反函数与原函数(shù)的复(fù)合(hé)函数等于x，即：

　　习惯上我们用x来表示自变(biàn)量，用y来表(biǎo)示因变量，于是函数y=f(x)的反(fǎn)函数通常写成

　　 。

　　例如，函数  

　　的反(fǎn)函数是  。

　　相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的(de)函数y=f(x)称为(wèi)直接函数。

　　反函数(shù)和(hé)直(zhí)接(jiē)函数(shù)的图像关于直线y=x对称。

　　这是因(yīn)为，如果设(shè)(a,b)是y=f(x)的(de)图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在(zài)反(fǎn)函数y=f-1(x)的图像上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于(yú)直线y=x对称，由(yóu)(a,b)的(de)任(rèn)意性可(kě)知f和f-1关于y=x对称。

　　于是我们可(kě)以知道，如(rú)果两个(gè)函数的图像关(guān)于y=x对称，那么这两(liǎng)个函数(shù)互为反函数。

　　这(zhè)也可以看做是反函数的一个(gè)几何(hé)定义(yì)。

　　在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

　　若一(yī)函数有反函数，此函数便称为可(kě)逆的（invertible）。

　　参考资料：百度百科---反函(hán)数

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