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为什(shén)么负负得正(zhèng)怎(zěn)么推理，乘法为(wèi)什么负负得正

　　即-a+a=0。

　　对任何实数a，定义加法0+a=a，乘(chéng)法1*a=a。

　　实数的加法和乘法满足(zú)交(jiāo)换律(lǜ)、结合律以及分配律，等(děng)式还满足等量加等量和相等(děng)，等量减(jiǎn)等(děng)量差相等的规律(lǜ)。

　　两(liǎng)个(gè)正(zhèng)数的(de)积还(hái)是正(zhèng)数。

　　1、美国数学(xué)史bai家du和数学教育家M·克莱(lái)因通zhi过(guò)负债(zhài)模型解决了(le)“两负(fù)数相(xiāng)乘得正”的问题：

　　一人(rén)每天欠(qiàn)债5元，给定日期(qī)（0元）3天后欠债15元。

　　如果将(jiāng)5元(yuán)的宅记作-5，那(nà)么“每天(tiān)欠债5元、欠(qiàn)债3天”可(kě)以(yǐ)用数(shù)学(xué)来表(biǎo)达：3×（-5）=-15。

　　同样一人每天欠债5元，那么(me)给(gěi)定日期（0元(yuán)）3天(tiān)前，他的(de)财(cái)产比给定日期的财(cái)产(chǎn)多15元(yuán)。

　　如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况课表示为（-3）×（-5）=15。

　　2、相反数模型

　　5×3=5+5+5=15，（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15。

　　所以，把一(yī)个(gè)因数换成他的相反数，所得的积(jī)就是原(yuán)来的(de)积的(de)相(xiāng)反数，故（-5）×（-3）=15。

　　3、苏联著名数学(xué)家盖尔范德（I.Gelfand,1913~2009）则作了另(lìng)一种(zhǒng)解释(shì)：

　　3×5=15：得到5美元3次，即得到15美阴肖有哪几个生肖元。

　　3×(－5)=－15：付5美元罚金3次(cì)，即付罚金15美(měi)元。

　　(－3)×5=－15：没(méi)有得到5美元3次(cì)，即(jí)没有得到15美(měi)元。

　　(－3)×(－5)=+15：未付(fù)5美元罚金(jīn)3次，即得到15美(měi)元。

　　13世纪(jì)末由数学家(jiā)朱士(shì)杰给出，在《算(suàn)学启蒙(méng)》（1299）中(zhōng)，朱(zhū)士(shì)杰提出：“明(míng)乘除(chú)法,同名(míng)相乘得正(zhèng),异名相乘得负”。

在(zài)数学乘法中为(wèi)什么负(fù)负得正(zhèng)

　　在数学乘(chéng)法中负负得正的原因解(jiě)释有(yǒu)：

　　1、美国数学史家(jiā)和数学教育家M·克莱(lái)因(yīn)通过负债模(mó)型解决了(le)“两负数(shù)相乘得正”的问(wèn)题：

　　一人每(měi)天欠债(zhài)5元，给定日(rì)期（0元(yuán)）3天后(hòu)欠(qiàn)债15元。

　　如迟吵搭(dā)果(guǒ)将(jiāng)5元的宅记(jì)作-5，那么“每天(tiān)欠债5元、欠债(zhài)3天”可以用(yòng)数学来(lái)表达：3×（-5）=-15。

　　同样(yàng)一人(rén)每天欠债(zhài)5元，那(nà)么给定日期(qī)（0元）3天前，他的财产比给定日期的(de)财(cái)产多15元(yuán)。

　　如果(guǒ)我们(men)用-3表示(shì)3天前(qián)，用-5表示(shì)每天欠债，那么(me)3天前(qián)他的经济情况课表示为（-3）×（阴肖有哪几个生肖-5）=15。

　　2、相反数模型

　　5×3=5+5+5=15，（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15，

　　所以，把一个(gè)因数换成他的相反数，所得(dé)的积就是(shì)原来(lái)的(de)积的相反数，故（-5）×（-3）=15。

　　3、苏码拿联著(zhù)名数学家盖(gài)尔(ěr)范德（I.Gelfand, 1913~2009）则作(zuò)了另一种解释：

　　3×5=15：得到5美元(yuán)3次(cì)，即得(dé)到15美(měi)元；

　　3×(－5)=－15：付5美元罚金(jīn)3次，即付罚(fá)金(jīn)15美元(yuán)；

　　(－3)×5=－15：没有(yǒu)得到(dào)5美元(yuán)3次，即(jí)没有得到15美元；

　　(－3)×(－5)=+15：未付5美元罚金3次，即得到15美元(yuán)。

　　上述内容参(cān)考《数学阅读(dú)精粹（第一册）》，江苏凤凰教育出版社出版，2016年6月。

　　原载(zài)于《数学(xué)文化透视》，上海科学技术出版社出版。

　　扩展(zhǎn)资(zī)料(liào)：

　　负(fù)数(shù)概念最早(zǎo)出(chū)现在中国，在碰衡《九章算术》中方程章给出正(zhèng)负数的加减(jiǎn)运算(suàn)法则，而负负得(dé)正直到13世(shì)纪末才(cái)由数(shù)学家(jiā)朱士杰(jié)给出。

　　在《算学启蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明(míng)乘除法，同(tóng)名相乘得正，异(yì)名相乘得负”。

　　公元(yuán)7世纪(jì)，印度(dù)数学(xué)家婆罗笈多（brahmayup-ta）已有明确的正负数(shù)概念，及其四则运算法则：“正负相乘得负，两负数(shù)相乘得正，两正数得正(zhèng)。

　　”

　　参考资(zī)料来源：百度(dù)百(bǎi)科-负数

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